Origin, Essence and Main Directions of Studies on Scaling in Cities
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摘要:
科学描述需要数学建模，而常规数学建模和定量分析依赖于特征尺度。复杂系统（如城市）通常找不到特征尺度，从而不能有效描述。在此情况下，特征尺度需要代之以标度分析。城市标度研究起源于地理世界的测不准现象，其数理本质是尺度变换中的不变性，即伸缩对称性。近年来，标度成为城市理论研究和经验分析的热点和前沿，主要研究领域包括异速标度、等级标度、空间标度和网络标度。分形几何学成为标度分析的有力工具。城市标度研究取得了显著的成绩，但也引发一系列问题，包括标度的过度识别、理论模型建设有限、标度指数依赖于研究区的定义和各个分支缺乏有机联系。标度代表城市理论研究和方法发展的新方向，今后会与基于特征尺度的城市理论模型相辅相成，协同发展。
Abstract:Scientific description requires mathematical modeling, while conventional mathematical modelingand quantitative analysis depend on characteristic scales. Complex systems such as cities usually bear no characteristic scale, and thus cannot be effectively described with mathematical methods. In this case, characteristic scale analyses should be replaced by scaling analysis. The studies on urban scaling originates from the uncertainty of spatial measurements in the geographical world. The mathematical essence of scaling in cities lies in the invariance in scaling transformation, that is, dilation symmetry. In recent years, scaling has become a hot topic and frontier in theoretical research and empirical analyses on cities. The main research fields include allometric scaling, hierarchical scaling, spatial scaling and network scaling. Fractal geometry is one of powerful tools for scaling analysis. Urban scaling research has made remarkable achievement, but also leads to a series of problems, including over identification of scaling, limited construction of theoretical models, dependence of scaling exponents on the definition of the study area, and lack of organic connection between various branch domains. Scaling represents the new direction of urban theoretical research and method development. In the future, it will complement and cooperate with the urban theoretical modeling based on characteristic scales.
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0. 引言
科学研究始于描述，成于理解。只有采用适当的方法有效描述一个系统，才能真正理解它的运行机理。城市是复杂空间系统，如何有效描述城市现象，从而理解其演化规律，进而实现对城市的规划和管理，一直是城市地理学家关心的难题。复杂系统都具有非线性特征，从而具有反直观性质，单纯地定性描述不能满足深入研究的需求，需要采用定量和定性相互结合的方法进行刻画。然而，并非有了数学方法就可以恰如其分地描述城市的一种现象或者行为。实际上，城市地理现象分为两大类别：一是有特征尺度，可以采用通常的数学方法描述和分析；二是无特征尺度，不能采用通常的数学方法建模和分析，需要代之以标度分析[1]。地理学计量革命之后的理论革命之所以受挫，障碍之一在于，在当时的条件下，无法区分特征尺度分析和标度分析。所有标度性质的复杂地理现象都被当作有特征尺度的简单地理现象处理，从而解释不准确，预测不可靠。
在没有特征尺度的情况下，需要代之以标度思想。标度问题和标度分析在城市地理研究中由来已久。著名的距离衰减律、位序-规模律和异速生长律都与标度有关。标度是当今科学理论研究的热点之一，近年来各个领域都在关注标度，地理学家、物理学家和经济学家都在研究城市标度问题[2-4]。作者长期从分形、位序-规模分布和异速生长的角度研究城市标度问题，对这一领域的来龙去脉比较熟悉，故撰此文，对城市标度研究的来龙去脉做一个概略性论述。
1. 城市标度起源和本质
1.1 起源和本质
城市标度问题起源于地理空间测量。要想研究一个现象，首先得描述其基本特征。要进行准确的描述，就得明确一些测度：长度、面积、体积、重量、密度，如此等等[5]。TAYLOR[6]在其《地理学中的定量方法》一书中指出：“测度是数学和经验研究联系的桥梁。”在各种测度中，一维测度——长度——属于基本测度，从而最为重要。然而，地理学家发现，地理系统中的长度测量并非轻而易举。恰恰相反，许多地理线的长度，包括河流、山脊线、海岸线、国境线、城市边界线，无法获得确定的数值。其中最早引起地理学家注意的是河流“长度之谜(conundrum of length)”：不同机构给出的同一条河流的长度数据往往有显著差别，人们称之为“Steinhaus佯谬(paradox)”[7]。1960年代，美国密歇根数量地理学家校际共同体(Michigan Inter-University Community of Mathematical Geographers, CMG)着手调研地理空间的长度之谜以及与此相关的学术问题。调查工作完成之后，NYSTUEN[8]于1966年撰写了一篇题为“边界形状效应和局部凸性概念”的文章，该文指出：对于地理现象，长度的测算依赖于尺度。基于海岸线的长度的尺度依赖性，MANDELBROT[9-10]提出了分维概念，进而发展了分形理论。分形是一种典型的标度现象，其本质是伸缩对称性的发现[10]。
在城市地理研究中，经常可见测量结果依赖于尺度的现象。城市周长、城区建筑面积、城市交通网络长度，诸如此类，都存在尺度依赖性[11-12]。近年来地理学家的一个热门话题是可变地域单元问题(modifiable areal unit problem, MAUP)。所谓MAUP，是指空间计量的地域单元大小的改变，会显著影响统计量的计算结果，严重时会影响统计推断结论的有效性[13-15]。今天看来，MAUP的本质在于地理分布的无尺度性，MAUP其实也就是空间分析的尺度依赖性[16]。
标度本质上是数学中的变换不变性，可以视为一种数学方法，这种数学方法在城市研究中又表现为一种地理规律。对于任何科学研究，数学工具都有两种功能：一是构建假设、建立模型、发展理论的工具(数学建模)，二是观测数据的整理手段(统计分析)。标度分析用于城市研究，也有两种功能：一是构建假设建立理论模型，二是整理实验与观测数据，发展经验模型(表 1)。英国伯明翰大学地理学者MOSS[17]曾经指出，地理学家过去过于重视数学的第二种功能的发挥(整理观测数据)，而不太重视第一种功能(假设、建模、发展理论)[18]，从而地理学的计量革命没有达到预期的效果。从目前的研究成果看来，城市研究中大多是标度现象的幂律分析，本质上属于数据整理。只有在第二个功能方面打开局面，即基于城市标度思想，构建假设、建立模型，才能为发展城市地理学理论做出力所能及的贡献。
表 1 城市标度分析的两种功能：理论研究中的数学建模和经验研究中的观测数据整理Table 1. Two functions of urban scaling analysis: Mathematical modeling in theoretical research and data processing in empirical research功能 具体作用 研究体现 模型 模型建设 构建假设，建立模型，发展理论 幂律的推导、证明，标度指数方程的推导 借助分析法建设机理模型 数据整理 整理实验或观测数据 城市幂律的实证分析 借助试验法建立参数模型 1.2 城市地理学中的经典标度律
就城市地理研究而言，特征尺度分析和标度分析一直交织在一起，只不过是在标度概念和理论产生之前，人们没有注意二者的联系和区别。城市研究中最显著的三个规律：距离衰减律(诞生于1895年乃至更早)、位序-规模律(诞生于1913年)和异速生长律(诞生于1956年)都与标度有关。著名的中心地理论模型则隐含着距离衰减律、位序-规模律和异速生长律。TOBLER[19-20]的地理学第一定律，本质上是一个空间标度问题。在各种经典地理数学模型中，基于标度的模型出现的概率大于基于特征尺度的模型出现的概率。如果两种模型同时出现，一般基于标度的模型影响深远，而基于特征尺度的模型则知者不多。出现这种局面的原因如下：第一，地理现象和过程原本包括有特征尺度和无特征尺度两个方面[16]；第二，地理过程的有尺度分布和无尺度分布在一定条件下可能相互转化[11, 21]；第三，考察的地理尺度不同，或者发展阶段不同，数学规律不尽一致[11, 22]。上述事实说明，在城市地理学中，从传统的经典模型，到前沿的复杂问题，存在一系列基础问题值得深入探索。
2. 城市研究中的标度
2.1 地理研究的两个环节：从描述到理解
描述是分析的基础，理解是解释的前提。故所有的科学研究都包括两个环节：描述和理解[23-24]。有了适当的描述，才能解释和预言(表 2)。城市系统是复杂空间系统。复杂系统的基本性质之一是没有特征尺度，无法采用常规的数学方法描述和分析。要想有效解决无特征尺度系统的问题，必须借助标度分析方法。标度之所以成为科学界普遍关心的热点问题，是科学家已经认识到，常规的科学描述方法对于复杂系统效果有限。城市地理学家之所以重视标度，是因为城市系统涉及空间复杂性[25]。研究城市标度问题，至少具有如下学术意义：其一，对城市不同方面的基本属性进行分类，以便于采用适当的方法，有针对性地解决城市问题；其二，揭示城市地理系统中的标度规律；其三，基于无特征尺度的思想，发展城市地理学的描述和分析方法。
表 2 科学研究的两个环节：描述和理解Table 2. Two links of scientific research: Description and understanding领域 环节 方法 结果 自然科学 描述 测度，数学建模 经验模型 理解 调查，观测，推理，受控实验，计算机模拟，数据密集计算 理论模型和原理 社会科学 描述 基于统计学的问卷和宏观特征概括 统计模型 理解 基于概率论等访谈和微观机制分析 因果关系解释 2.2 常规描述的前提：特征尺度
对于常规的地理数学方法而言，描述的前提是找到地理系统的特征尺度。所谓特征尺度(characteristic scale)，就是一个系统的某种典型尺度。这种典型尺度在几何和微积分中表现为确定的半径、边长等，在线性代数中表现为确定的特征值(根)，在概率论与统计学表现为确定的平均值和标准差。由于特征尺度通常用1维测度表示，故文献中称之为特征长度(characteristic length)[26-29]。有特征尺度的地理系统，基本特征是测量不依赖于尺度，从而有确定的长度、面积、体积、密度等测度，概率分布为中庸型，或者可以转换为中庸型——中间高、两头低的单峰曲线；无特征尺度的地理系统，基本特征相反，测量依赖于尺度，找不到确定的长度、面积、体积、密度，概率分布为极端型的长尾分布：一端短高而少，另一端低长而多[16]。
利用平均值和标准差可以对有特征尺度的现象进行预测分析，然而，平均值和标准差无法预测无尺度现象。人类身高服从正态分布，有特征尺度。95%的人的身高在平均值加、减二倍标准差范围之内；身高大于平均值2倍的人现实中找不到。但是，城市不然。如果城市规模分布服从Zipf定律，那么具有标度性质，规模大于平均值2倍乃至4倍、8倍、16倍的城市毫不奇怪。根据基于中国六普数据的城市规模处理结果，中国654个城市的平均市人口规模是61.3万人，上海市人口是1 764.1万人，最大城市人口相当于平均值的28.8倍左右。实际上，中国的城市绝对不止这654个，否则2010年中国全部城镇人口占据总人口的比重只有35.5%，不可能达到49.68%。考虑到许多县城没有得到官方认证，从而缺乏公开普查数据，这个倍数就不知道有多大了。这意味，采用统计学中基于平均值和标准差的常规方法，不可能预见一个陌生城市的人口规模。
2.3 复杂空间系统的描述方法：标度
标度是描述和理解复杂系统的有效途径。城市是复杂空间系统[1, 30-33]。复杂系统的基本特性之一是标度性质，标度意味着没有特征尺度。所谓标度，就是对一个系统的进行尺度缩放，系统的结构不变。换言之，系统的测度依赖于测量尺度，但系统的性质却不因尺度改变而发生变化。地理学家容易理解标度，因为按照一定的比例尺对地图进行缩小和放大的过程，就是一个标度处理过程。这个比方虽然简明易懂，但似乎无助于地理学家理解标度的原理和意义。如果一个城市地理系统不是标度过程，而是有特征尺度，则可以通过改变测量尺度很快得到收敛的测量结果，或者通过反复测量，找到有效的测量均值。但是，如果城市系统是标度的，那就无法得到收敛的测量结果，或者找到有效的均值。标度的数学本质是尺度伸缩变换的不变性，从数学变换的角度理解，才能深入其内涵[34]。城市地理学中有两个经典的模型，城市人口密度的Clark模型[35]和城市交通网络密度分布的Smeed模型[36]，分别作为特征尺度分布和标度分布的代表。这两个模型有助于我们理解城市地理学系统的特征尺度和标度[37]。
2.4 标度与幂律
如果一个城市地理现象可以建立有效的数学模型，则其标度性质容易鉴别。只要服从标度律，就可以判断该模型具有标度性质，从而所描述的地理现象具有标度过程。经验上，科学家借助幂律识别标度。之所以如此，是因为幂函数是反映标度关系的泛函方程式的特解之一[34, 37]。标度不限于幂律，但在绝大多数情况下，从标度关系中可以引导出或明或隐的幂律关系。标度起源于测量的不确定性，表现为测量结果的尺度依赖性，数学上特征则是测量过程的尺度不变性，本质上则是伸缩对称性[38]。改变尺度，测量结果不一样，找不到代表性的测量结果，但数学模型的结构和反映系统性质的标度指数却是不变的。如果测量过程随尺度的变化很快收敛到一个确定的数值，则是有特征尺度的，无须标度分析。与此对照，如果测量过程依赖于尺度，结果并不收敛，就可以尝试构建测量尺度与测量结果的幂指数关系。借助一定的算法，如最小二乘法或者最大似然法，计算出幂指数，该指数代表标度指数。如果要求不太严格，标度指数可以通过尺度和测度的双对数坐标图的斜率来估计。标度分析在经验上通常就是采用标度指数代替常规的测度如长度、面积、体积、密度等。
3. 城市标度研究的现状
3.1 城市标度研究的兴起
标度是目前整个科学界普遍关心的问题，原因在于复杂性科学的兴起。探索复杂性，既要应用标度分析方法，也要解决标度本身的问题。复杂系统之所以复杂，原因之一在于没有特征尺度，不能采用常规的数学方法有效描述，从而难以深入理解。标度分析提供了描述无尺度现象的新视角，但也引发一系列的理论和应用问题。因此，越来越多的学者开始基于各自的学科探索标度问题。一方面，揭示各种各样的标度现象，为发展标度分析方法提供根据；另一方面，通过标度方法，的确可以解决许多过去解决不了的现实问题。
数学建模的主线，可以反映科学重心的转移。有学者将近现代科学的理论研究概括为三个函数：正态函数(Gauss函数)、指数函数和幂函数[39]。前两个函数是特征尺度分析的典型，后一个则是标度描述的标志。如前所述，城市是复杂空间系统，研究城市无法回避空间复杂性问题[31]。城市地理学家重视标度研究是大势所趋。计量革命时期，地理学家发展了很多城市地理学模型，但它们的应用效果却令人失望：往往解释不准确，预测不可靠[40]。究其原因在于，特征尺度与标度的混淆。城市理论学者已经认识到：将特征尺度现象与标度现象有效区分，用标度思想和方法研究城市中的无特征尺度问题，有特征尺度的现象采用常规数学方法描述，才能避免认识的混乱和研究的误入歧途。
3.2 城市标度研究的主要方向
在城市地理研究中，标度研究的文献越来越多，主要集中在四个领域：分形现象、位序-规模分布、异速生长和复杂网络。分形、异速生长和复杂网络的共性在于标度律。著名城市理论家BATTY[41]甚至认为三者可以集成发展为解释城市演化的新理论。位序-规模分布属于等级标度，分形研究包括空间标度和等级标度，但以空间标度为主，复杂网络包括空间标度和等级标度，但以等级标度为主；异速标度可以从等级标度推导出来。城市分形研究有较多的文献综述，下面简单论述分形标度之外的城市标度研究方向。
(1) 城市位序-规模标度研究。此类研究源于城市规模分布的Zipf定律和Pareto分布。城市位序-规模分布研究可以追溯到1913年的Auerbach模型[42]。Zipf分布是一种长尾概率分布[43]，属于功能意义的分形[29, 44]。城市位序-规模律暗示城市体系具有整洁而又简单结构[45]。这个简单的城市规律，吸引了无数的城市地理和经济学者投入研究[2, 46]。几乎每年都有相关的论文发表。但是，其背后的基本原理依然不够清楚。21世纪以来人们从标度的角度研究城市位序-规模分布[3, 41, 47-48]。城市规模分布可以转换为等级体系，属于等级标度问题。
(2) 城市异速生长和异速标度关系研究。此类源于生物器官相对生长速度的比例关系类比，20世纪50年代由一般系统论创始人BERTALANFFY及其合作者“推送”到城市地理学[49]。城市地理学家用异速生长律研究城市中的各种生长和分布的比例关系，包括城市化中的城乡人口关系、城市体系中的中心城市与全部城市的关系、城市人口-城区面积关系、城区面积-城市周长关系、城市人口规模与经济产出关系[46, 50-55]。虽然异速生长律在城市应用研究中效果较好，但其标度指数无法用欧氏几何学的思想解释，这就引起了理论上的量纲困惑，从而阻碍了它的进一步发展[54]。由于异速标度指数解释的量纲难题[51]，城市异速生长研究在地理学界一度冷落。由于分形和分维概念的引入，异速标度指数的量纲障碍得以解除[4, 56]。由于美国圣菲复杂性研究所(Santa Fe Institute, SFI)当年首席科学家West与城市地理学家合作[3]，再度复兴了城市问题的异速标度研究。如今，在各种城市异速标度研究中，最热门的主题之一是城市规模与各种投入和产出的关系。笔者及其合作者很早就着手研究这种关系[55, 57-59]，但未能引起广泛关注。后来，由于西班牙裔学者BETTENCOURT及其同事将城市规模-产出异速标度模型进行精心包装并在国际顶级科学期刊如Science和PNAS发表论文[60-61]，有关研究引起地理和城市学者的广泛注意。最近常有相关成果问世[62-66]，但有关研究也引起新的困惑[67]。科学发展就是这样：既然出现了新问题，自然会引发新研究。
(3) 城市复杂网络的标度研究。网络科学起源于七桥问题的数学抽象。最初人们研究简单的随机网络。小世界概念提出以后，有关研究开始接近复杂网络问题。20世纪末期，由于计算机和互联网技术的发展、复杂性科学的兴起以及学科之间的交叉与渗透，复杂网络研究涌现出来，形成所谓网络新科学[68]，并且一开始就与标度问题产生关联[69-70]。由于地理世界既存在简单网络又存在复杂网络[71]，地理学家将网络引入城市研究自然而然[72]。复杂网络在标度问题上与分形和异速生长产生联系。复杂网络包括无尺度网络和等级网络，前者是一种具有标度性质的网络，后者则不仅具有标度性质，而且具有分形结构——等级网络的标度指数等于分维加上1。网络新科学与分形几何学、异速生长理论交叉激发了城市新科学探索[41]。英国UCL的高级空间分析中心的研究团队研究了伦敦城市内部的复杂网络结构和分形性质[73]。
(4) 城市空间分布和结构的标度研究。空间维度是数学建模的难题之一[74]。但空间是城市地理研究的核心概念，地理学家最感兴趣，也无法回避。标度为城市地理空间建模提供了新途径。然而，早年基于负幂律距离衰减的经典研究，包括空间扩散、引力、空间相互作用，都是空间标度问题。分形城市研究兴起后，标度概念便引人注意[1, 11, 75-77]。分形城市研究大部分属于空间标度问题，少部分属于等级标度。分形研究可以划归标度范畴，但反之未必：标度研究不一定属于分形研究。相对于分形概念，标度概念的内涵更小，从而外延更大。人口空间活动、技术扩散等等，都发现标度现象[39, 78-79]，而类似的规律在城市研究中屡见不鲜[80]。中心地理论模型中，也发现新的标度现象[81]。
3.3 城市标度研究的问题
城市标度研究取得了可喜的成绩，但也存在不少问题，主要问题表现在如下方面。其一，标度的过度识别。早年，特别是计量革命时期，在地理学家认识到标度律之前，地理学现象都被当作有特征尺度的现象进行描述和理解，这就不免引起解释和预测的失误。新世纪标度分析兴起，又导致另一个极端，那就是幂律的过度识别：许多不是标度的现象也被当作标度问题了。探索城市标度，澄清问题，规范方法，学科理论建设和应用研究才能顺利发展。其二，基于标度的理论建模研究不够。标度分析涉及基于尺度的数学变换。如前所述，如同其他数学方法一样，用于城市研究，具有两种功能：一是构建假设、建立模型、发展理论; 二是整理观测或者模拟实验数据。对于地理学科建设而言，第一种功能比第二种功能更为重要[17]。但是，从发表的论文看来，大多数城市标度研究属于第二类——数据整理，而在理论模型建设方面做得不够深入。其三，研究方法与参数估计困惑。主要的难题在于，采用不同口径的变量，或者不同范围的研究区，计算的异速标度指数不尽一致：有时大于1，有时则小于1，地理意义截然不同[66-67]。这类问题不解决，对标度在城市研究中的应用会有消极影响。其四，不同的研究分支缺乏统一的逻辑框架。城市标度研究涉及空间标度、等级标度、网络标度、异速标度等等。这些标度现象存在内在的深刻联系。但是，目前揭示出来逻辑关系的依然有限。
不论怎样，标度代表城市描述的新思维。标度分析的有力数学工具是分形几何学，因为分形的本质就是标度对称性[38]。城市是复杂空间系统。复杂系统的基本性质之一是基本结构没有特征尺度，许多问题不能采用通常的数学建模和定量分析方法解决。在这种情况下，借助分形几何学之类的方法开展城市标度分析是必然选择。城市标度研究的实证困难在于区分有无特征尺度，然后有针对性地选择空间建模和分析工具。城市标度的识别方法正在发展之中。具有标度性质的城市地理现象有如下特征：(1)测量结果依赖于测量尺度，尺度与测量结果之间形成某种幂律关系；(2)分布曲线表现为单边衰减的长尾曲线，并且不能转换为单峰凸起的分布曲线；(3)数学模型为伸缩变换下的本征函数，特征参数则是本征值的函数；(4)自相关函数和偏自相关函数都具有拖尾特征，不会出现截尾现象。
4. 结束语
标度分析代表城市数学建模和定量分析的新方向。如果一种城市现象具有特征尺度，采用常规数学方法即可奏效；否则，需要借助标度分析代替特征尺度分析。本文的要点如下：其一，城市标度研究的起源在于空间测量的尺度依赖性。为了理解一种城市过程，首先要描述相应的城市现象，而定量描述基于测量。但是，复杂城市系统在许多方面没有确定的测量结果，城市边界线和交通线的长度、城区范围的建筑用地面积、城市规模分布的平均值、城市空间关联矩阵的特征根，如此等等，都依赖于尺度。在常规测度不确定的情况下，可以借助测量尺度和相应的测度建立幂律关系，获得有效的特征参数——标度指数。其二，城市标度的本质在于城市结构的伸缩对称性。对一个城市结构的数学模型在尺度放大或者缩小变换下具有不变性，这种变换下的不变性乃是伸缩对称性。伸缩对称性意味着自相似性：不同尺度的城市部分具有相同的空间信息。其三，城市标度研究的主要方向包括五大领域：一是城市分形标度研究，二是城市位序-规模分布标度研究，三是城市异速生长标度研究，四是距离衰减标度分析，五是城市网络标度研究。虽然城市标度研究取得了显著测成绩，但也暴露出一系列问题，例如标度关系的过度识别、城市标度理论建模研究偏少、标度指数测算的不确定、不同方向的城市标度研究缺乏统一逻辑框架。有问题才有研究发展的空间。在研究方法具备的前提下，一个领域的问题越多，科学研究的前景越是广阔。
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表 1 城市标度分析的两种功能：理论研究中的数学建模和经验研究中的观测数据整理
Table 1 Two functions of urban scaling analysis: Mathematical modeling in theoretical research and data processing in empirical research
功能 具体作用 研究体现 模型 模型建设 构建假设，建立模型，发展理论 幂律的推导、证明，标度指数方程的推导 借助分析法建设机理模型 数据整理 整理实验或观测数据 城市幂律的实证分析 借助试验法建立参数模型 
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表 2 科学研究的两个环节：描述和理解
Table 2 Two links of scientific research: Description and understanding
领域 环节 方法 结果 自然科学 描述 测度，数学建模 经验模型 理解 调查，观测，推理，受控实验，计算机模拟，数据密集计算 理论模型和原理 社会科学 描述 基于统计学的问卷和宏观特征概括 统计模型 理解 基于概率论等访谈和微观机制分析 因果关系解释
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