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薛定谔方程在Berestycki-Lions条件下正解的存在性

薛艳昉, 韩建新

薛艳昉, 韩建新. 薛定谔方程在Berestycki-Lions条件下正解的存在性[J]. 信阳师范学院学报(自然科学版), 2022, 35(1): 7-10. DOI: 10.3969/j.issn.1003-0972.2022.01.002
引用本文: 薛艳昉, 韩建新. 薛定谔方程在Berestycki-Lions条件下正解的存在性[J]. 信阳师范学院学报(自然科学版), 2022, 35(1): 7-10. DOI: 10.3969/j.issn.1003-0972.2022.01.002
Yanfang XUE, Jianxin HAN. Existence of Positive Solutions of Schrödinger Equation Under the Berestycki-Lions Condition[J]. Journal of Xinyang Normal University (Natural Science Edition), 2022, 35(1): 7-10. DOI: 10.3969/j.issn.1003-0972.2022.01.002
Citation: Yanfang XUE, Jianxin HAN. Existence of Positive Solutions of Schrödinger Equation Under the Berestycki-Lions Condition[J]. Journal of Xinyang Normal University (Natural Science Edition), 2022, 35(1): 7-10. DOI: 10.3969/j.issn.1003-0972.2022.01.002

薛定谔方程在Berestycki-Lions条件下正解的存在性

基金项目: 

国家自然科学基金项目 11901499

信阳师范学院南湖学者青年项目 201912

详细信息
    作者简介:

    薛艳昉(1979-), 女, 湖北京山人, 副教授, 博士, 主要从事非线性分析及数理金融方面的研究

    通讯作者:

    薛艳昉: 韩建新, E-mail: hjxin2008@163.com

    韩建新: 薛艳昉, E-mail: xueyanfang2015@163.com

  • 中图分类号: O177.91

Existence of Positive Solutions of Schrödinger Equation Under the Berestycki-Lions Condition

  • 摘要:

    研究了一类薛定谔方程正解的存在性问题。在径向位势下, 当非线性项满足由Berestycki-Lions在1983年给出的经典条件时, 利用山路引理和对称临界原理, 得到了该问题的一个正解。

    Abstract:

    The existence of positive solutions for the Schrödinger equation with radial potential is studied. By using the mountain pass lemma and the principle of symmetric criticality, a positive solution is obtained when the nonlinear term satisfies the Berestycki-Lions condition given in 1983.

  • 开放科学(资源服务)标志码(OSID):

    考虑如下薛定谔方程:

    Δu+V(x)u=g(u),xRn, (1)

    其中V: RnR是位势函数, g(u): RR是非线性项。大量的文献在不同的位势下考虑方程(1)解的存在性和多重性。现有文献中, 非线性项一般满足经典的(AR)条件、单调性条件或非二次条件等, 而这些条件是证明山路结构和(PS)序列有界性的关键。

    1983年,BERESTYCKI和LIONS在经典文献[1]中讨论方程:

    Δu=g(u), (2)

    其中非线性项g(s)∈C(R, R)且满足如下条件:

    (g1)<lim

    上述条件(g1)~(g3)被认为是目前为止, 使得方程(2)有解的几乎最弱的条件(以下简称(BL)条件)。该条件引起了诸多学者的兴趣, 被众多知名学者从各个方面进行了推广和应用(见文献[2-4])。其中, AZZOLLINI[2]将文献[1]中的自治情形推广到了非自治的情况, 即考虑方程(1)解的存在性和非存在性, 其位势V满足下面的假设:

    (V1) VC1(Rn, R)。对任意xRn, 有V(x)≥0, 且在某个正测集上严格大于号成立;

    (V2) \left\|(\nabla V(x), x)^{+}\right\|_{n / 2}<2 S , 其中S是Sobolev嵌入D1, 2(Rn)→L2*(Rn)的最佳常数, 即

    \begin{aligned} &S=\inf _{u \in D^{1, 2} \backslash\{0\}} \frac{\|\nabla u\|_2^2}{\|u\|_{2^*}^2}, 2^*=\frac{2 n}{n-2};\\ &\left(\mathrm{V}_3\right) V(x) \text { 径向对称, 即 } V(|x|)=V(x) \text {; }\\ &\left(\mathrm{V}_4\right) \lim\limits_{|x| \rightarrow \infty} V(x)=0 \text { 。 } \end{aligned}

    在文献[2] 中, V(x)满足(V1)~(V4)条件, g(s)满足(g1)~(g3)条件, 该文献得到方程(1)解的存在性。受文献[2]的启发, 本文也考虑薛定谔方程(1)解的存在性, 推广了文献[2]中的相关结果。

    为简便起见, 在后面的叙述中, 将 \int_{\mathbf{R}^n} h(x) \mathrm{d} x简记为 \int_{\mathbf{R}^n} h(x)

    引理1(紧嵌入)   设Hr1(Rn)={uH1(Rn): u(|x|)=u(x)}, 则从Hr1(Rn)到Lp(Rn)(2 < p < 2*)的嵌入是紧的。

    引理2(山路引理)   设E是实的Banach空间, SE的闭子集, 并且将E分成E1E2两个不同的连通分支。如果IC1(E, R)满足下面的山路几何结构:

    (ⅰ) 0∈E1并且存在ρ>0, α>0, 使得I|Sα>0;

    (ⅱ) 存在eE2, ‖e‖>ρ, 使得I(e) < 0,

    那么存在序列{un}⊂E满足:

    I\left(u_n\right) \rightarrow c \geqslant \alpha, I^{\prime}\left(u_n\right) \rightarrow 0, (3)

    其中 c=\inf\limits_{\gamma \in \varGamma} \sup\limits_{t \in[0, 1]} I(\gamma(t)), \varGamma=\{\gamma \in C([0, 1], E)\gamma(0)=0, \gamma(1)=e\}。满足(3)的序列{un}称为泛函I的(PS)序列。

    定理1   若g(s)∈C(R, R)且满足(g1)和(g2), V(x)满足条件(V1)~(V3)以及

    (Vg) 存在ζ>0, 使得

    \lim\limits_{\overline{x \rightarrow+\infty}}\left(G(\zeta)-\frac{1}{2} V(x) \zeta^2\right)>0,

    则方程(1)存在正解。

    证明   分五步来完成定理1的证明。

    第一步, 修正非线性项g(s)。

    借鉴文献[5]中的思想, 对函数g做如下的修正: 令s0=min{s∈[ζ0, +∞): g(s)=0}, 若对任意sζ0, 有g(s)≠0, 则令s0=+∞。构造函数\tilde{g} : RR如下:

    \tilde{g}(s)= \begin{cases}g(s), & s \in\left[0, s_0\right], \\ 0, & s \in \mathbf{R} \backslash\left[0, s_0\right], \end{cases} (4)

    则函数 \tilde{g}满足g的所有条件。由强极大值原理, 在 \tilde{g}下问题(1)的正解也是g之下问题(1)的正解。事实上, \tilde{g}下问题(1)的正解满足0≤us0, 故 \tilde{g}(u)=g(u)。故而可以假设g由式(4)定义。

    s≥0时, 令

    \begin{aligned} & g_1(s)=(g(s)+m s)^{+}, \\ & g_2(s)=g_1(s)-g(s)^2。 \end{aligned}

    s < 0时, g1(s)=g2(s)=0, 则g1≥0, g2≥0且

    \lim\limits_{s \rightarrow 0} \frac{g_1(s)}{s}=0, (5)
    \lim\limits_{s \rightarrow \infty} \frac{g_1(s)}{|s|^{2^*-1}}=0, (6)
    g_2(s) \geqslant m s, \forall s \geqslant 0, (7)
    \lim\limits_{s \rightarrow \infty} \frac{g_2(s)}{|s|^{2^*-1}}=0。 (8)

    根据式(5) ~ 式(8) 知, 对任意δ > 0, 存在Cδ >0使得

    g_1(s) \leqslant C_\delta|s|^{2^*-1}+\delta g_2(s), (9)
    G_2(s) \geqslant \frac{1}{2} m s^2, (10)
    G_1(s) \leqslant \frac{C_\delta}{2^*}|s|^{2^*}+\delta G_2(s), (11)

    其中 G_i(s) =\int_0^s g_i(t) \mathrm{d} t, i=1, 2

    第二步, 证明泛函I满足山路几何结构(ⅰ)。

    根据式(10)、式(11)和Sobolev不等式知,

    \begin{aligned} & I(u)=\frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}\left(|\nabla u|^2+V(x) u^2\right)-\int_{\mathbf{R}^n} G(u) \geqslant \\ & \qquad \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla u|^2+(1-\delta) \frac{m}{2} \int_{\mathbf{R}^n} u^2- \\ & \qquad \frac{C_\delta}{2^*} \int_{\mathbf{R}^n} u^{2^*} \geqslant \\ & \qquad \min \left\{\frac{1}{2}, (1-\delta) \frac{m}{2}\right\}\|u\|^2- \\ & \qquad \frac{C_\delta}{2^*} S^{-\frac{2^*}{2}}\|\nabla u\|_2^{2^*}, \end{aligned}

    其中0 < δ < 1。由上述不等式知, 存在足够小的ρ>0, 当‖u‖≤ρ, u≠0时, 有I(u)≥c>0, 从而得到泛函I满足山路几何结构(ⅰ)。

    第三步, 证明泛函I满足山路几何结构(ⅱ)。

    θ>0足够大, \bar{\zeta}=\zeta(\frac{\cdot}{\theta}), 则由Fatou引理,

    \begin{aligned} \varlimsup_{x \rightarrow \infty} I&(\bar{\zeta})=\varlimsup_{x \rightarrow \infty} I\left(\zeta\left(\frac{x}{\theta}\right)\right)= \\ & \varlimsup_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\theta^{n-2}}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla \zeta|^2+\frac{\theta^n}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V(\theta x) \zeta^2-\right.\\ &\theta^n \int_{\mathbf{R}^n} \left.G(\zeta)\right) \leqslant\\ &\frac{\theta^{n-2}}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla \zeta|^2-\\ &\theta^n\left(\int_{\mathbf{R}^n} \lim\limits_{\overline{x \rightarrow+\infty}}\left(G(\zeta)-\frac{1}{2} V(\theta x) \zeta^2\right)\right) 。 \end{aligned}

    e=ζ, 根据(Vg)知, 当θ足够大时, 得到泛函I满足山路几何结构(ⅱ)。

    第四步, 证明I的每个(PS)序列有界。

    定义新的泛函J: Hr1(Rn)→ R如下:

    \begin{gathered} J(u)=\frac{n-2}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla u|^2+\frac{n}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V(x) u^2+ \\ \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) u^2-n \int_{\mathbf{R}^n} G(u) 。 \end{gathered}

    借助文献[6-7]中的证明思想, 构造Pohozaev型的(PS)序列。定义映射ψ: R×Hr1(Rn)→Hr1(Rn)如下:

    \psi(\theta, u)(x)=u\left(\mathrm{e}^{-\theta} x\right),

    则复合函数I \circ \psi

    \begin{aligned} & I(\psi(\theta, u))=\frac{\mathrm{e}^{(n-2) \theta}}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla u|^2+ \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\mathrm{e}^{n \theta}}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V\left(\mathrm{e}^\theta x\right) u^2-\mathrm{e}^{n \theta} \int_{\mathbf{R}^n} G(u) 。 \end{aligned}

    由非线性项g(s)的增长性条件可知, I \circ \psiR×Hr1(Rn)上连续可微。定义道路族\widetilde{\varGamma}=\{\tilde{\gamma} \in C\left([0, 1], \mathbf{R} \times H_r^1\left(\mathbf{R}^n\right)\right): \tilde{\gamma}(0)=(0, 0), (I \circ \psi)(\tilde{\gamma}(1)) <0\}

    因为 \varGamma=\{\psi \circ \widetilde{\gamma}: \tilde{\gamma} \in \widetilde{\varGamma}\}, 所以I I \circ \psi的山路值相等(见文献[6]), 即

    \tilde{c}=\inf\limits_{\tilde\gamma \in \widetilde{\varGamma}} \sup\limits_{\tau \in[0, 1]}(I \circ \psi)(\tilde{\gamma}(\tau))=c 。

    通过计算可知, 对任意(e, u)∈R×Hr1(Rn), 有

    \begin{aligned} & (I \circ \psi)^{\prime}\left(\theta_n, u_n\right)[e, u]= \\ & \qquad I^{\prime}\left(\psi\left(\theta_n, u_n\right)\right)\left[\psi\left(\theta_n, u\right)\right]+ \\ & \qquad J\left(\psi\left(\theta_n, u_n\right)\right) e。 \end{aligned}

    vn=ψ(θn, un), 则类似文献[6-7]可得,

    I\left(v_n\right) \rightarrow c, I^{\prime}\left(v_n\right) \rightarrow 0, J\left(v_n\right) \rightarrow 0,

    即{vn}是I在临界水平c处的Pohozaev型(PS)序列, 也就是

    \begin{aligned} & \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}\left(\left|\nabla v_n\right|^2+V(x) v_n^2\right)-\int_{\mathbf{R}^n} G\left(v_n\right)= \\ & \qquad c+o_n(1), \end{aligned} (12)
    \begin{aligned} & \left\langle I^{\prime}\left(v_n\right), v_n\right\rangle=\int_{\mathbf{R}^n}\left(\left|\nabla v_n\right|^2+V(x) v_n^2\right)- \\ & \qquad \int_{\mathbf{R}^n} g\left(v_n\right) v_n=o_n(1), \\ \end{aligned} (13)

    并且

    \begin{aligned} & \frac{n-2}{2} \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2+\frac{n}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V(x) v_n^2+ \\ & \qquad \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) v_n^2- \\ &\qquad n \int_{\mathbf{R}^n} G\left(v_n\right)=o_n(1) 。 \end{aligned} (14)

    由Hölder不等式、(V2)和Sobolev不等式得

    \begin{aligned} \int_{\mathbf{R}^n}( & \nabla V(x), x) v_n^2 \leqslant \\ & \left\|(\nabla V(x), x)^{+}\right\|_{n / 2}\left(\int_{\mathbf{R}^n} v_n^{\frac{2 n}{n-2}}\right)^{\frac{n-2}{n}}< \\ & 2 S\left(\int_{\mathbf{R}^n} v_n^{2^*}\right)^{\frac{n-2}{n}} \leqslant 2, \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2 \end{aligned}

    故存在较小的常数β>0, 使得

    \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) v_n^2 \leqslant(2-\beta) \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2。 (15)

    通过计算式(12)- \frac{1}{n}×式(14), 并将式(15)代入得

    \begin{aligned} c+o_n&(1)=\frac{1}{n} \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2- \\ &\frac{1}{2 n} \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) v_n^2 \geqslant \\ &\frac{\beta}{2 n} \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2, \end{aligned}

    故存在常数C1>0使得

    \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2 \leqslant C_1。 (16)

    再由Sobolev嵌入知, 存在常数C2>0使得

    \int_{\mathbf{R}^n} v_n^{2^*} \leqslant C_2 。

    由式(13)得

    \int_{\mathbf{R}^n} g\left(v_n\right) \mathfrak{v}_n=\int_{\mathbf{R}^n}\left(\left|\nabla v_n\right|^2+V(x) v_n^2\right) \geqslant 0。

    由上式再结合式(9)得

    \begin{aligned} & \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n \leqslant \int_{\mathbf{R}^n} g_1\left(v_n\right) v_n \leqslant \\ & \qquad C_\delta \int_{\mathbf{R}^n}\left|v_n\right|^{2^*}+\delta \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n。 \end{aligned}

    从而有

    \begin{aligned} & (1-\delta) \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n \leqslant C_\delta \int_{\mathbf{R}^n}\left|v_n\right|^{2^*} \leqslant \\ &\qquad C_\delta C_2 \leqslant。 \end{aligned}

    再由式(7)得

    m \int_{\mathbf{R}^n} v_n^2 \leqslant \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n \leqslant \frac{C_\delta C_2}{1-\delta}。 (17)

    由式(16)、式(17)知,I的每个(PS)序列在Hr1(Rn)中有界, 这样就完成了第四步的证明。

    第五步, 证明方程(1)有一个非平凡解。

    因为I具有旋转不变性, 所以由对称临界原理知, I限制在Hr1(Rn)上的临界点也是I在全空间H1(Rn)上的临界点。由第二步和第三步的证明, 结合引理2知, 泛函I存在(PS)序列。要得到方程(1)的解, 只需要证明任意(PS)序列{vn}存在收敛的子列即可。

    事实上, 由第四步的证明知, I的每个(PS)序列有界, 故存在弱收敛的子列, 不妨仍记为{vn}, 即存在vHr1(Rn), 使得 v_n \rightharpoonup \mathcal{v} \text { 于 } H_r^1\left(\mathbf{R}^n\right)。又因为嵌入Hr1(Rn)→Lp(Rn)(2 < p < 2*)是紧的, 所以vnvLp(Rn)。最后, 由非线性项满足的控制条件, 可以证明{vn}存在收敛的子列。由此, 可以得到非平凡解的存在性, 再由极大值原理, 可得正解的存在性。证毕。

    注记1   与文献[2]比较, 文中位势函数和非线性项满足的条件不同。文献[2]中, 在径向对称的条件下, 通过文献[8]中的单调技巧, 得到(PS)序列的有界性, 由Strauss引理得到紧性, 从而得到正解。此处, 借助Pohozaev恒等式, 利用山路引理和对称临界原理, 得到正解的存在性。

    注记2   由文献[5](第2.2部分)知, 此处所给的关于g的条件是使得问题(1)有解的几乎最弱的条件。

    关于Berestycki-Lions条件下的薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 在其他的位势下, 如强制位势、周期位势等, 是否也能考虑该问题?本文针对的是次临界增长的(BL)条件, 对临界增长的情形, 是否有类似结论?此外, 是否可以类似文献[9-11], 针对拟线性薛定谔方程考虑(BL)条件?这些都值得我们进一步地思考。

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  • 期刊类型引用(1)

    1. 陶钬,李麟. 一类p-双调和方程的Berestycki-Lions结果. 西华师范大学学报(自然科学版). 2024(03): 261-266 . 百度学术

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-09-28
  • 修回日期:  2021-10-04
  • 网络出版日期:  2022-01-27
  • 刊出日期:  2022-01-09

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