薛定谔方程在Berestycki-Lions条件下正解的存在性

薛艳昉; 韩建新

doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2022.01.002

薛定谔方程在Berestycki-Lions条件下正解的存在性

薛艳昉^,,
韩建新^,

信阳师范学院数学与统计学院, 河南信阳 464000

基金项目:

国家自然科学基金项目 11901499

信阳师范学院南湖学者青年项目 201912

详细信息

作者简介:
薛艳昉(1979-), 女, 湖北京山人, 副教授, 博士, 主要从事非线性分析及数理金融方面的研究

通讯作者:
薛艳昉: 韩建新, E-mail: hjxin2008@163.com

韩建新: 薛艳昉, E-mail: xueyanfang2015@163.com

中图分类号: O177.91
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出版历程
- 收稿日期: 2020-09-28
- 修回日期: 2021-10-04
- 网络出版日期: 2022-01-27
- 刊出日期: 2022-01-09

Existence of Positive Solutions of Schrödinger Equation Under the Berestycki-Lions Condition

Yanfang XUE^,,
Jianxin HAN^,

College of Mathematics and Statistics, Xinyang Normal University, Xinyang 464000, China

摘要

摘要:
研究了一类薛定谔方程正解的存在性问题。在径向位势下, 当非线性项满足由Berestycki-Lions在1983年给出的经典条件时, 利用山路引理和对称临界原理, 得到了该问题的一个正解。
- 对称临界原理 /
- 山路引理 /
- Berestycki-Lions条件 /
- Pohozaev恒等式
Abstract:
The existence of positive solutions for the Schrödinger equation with radial potential is studied. By using the mountain pass lemma and the principle of symmetric criticality, a positive solution is obtained when the nonlinear term satisfies the Berestycki-Lions condition given in 1983.
- principle of symmetric criticality /
- mountain pass lemma /
- Berestycki-Lions condition /
- Pohozaev equality

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0. 引言

考虑如下薛定谔方程:

$-\varDelta u+V(x) u=g(u), x \in \mathbf{R}^n,$

(1)

其中V: Rⁿ→ R是位势函数, g(u): R → R是非线性项。大量的文献在不同的位势下考虑方程(1)解的存在性和多重性。现有文献中, 非线性项一般满足经典的(AR)条件、单调性条件或非二次条件等, 而这些条件是证明山路结构和(PS)序列有界性的关键。

1983年，BERESTYCKI和LIONS在经典文献[1]中讨论方程:

$-\varDelta u=g(u),$

(2)

其中非线性项g(s)∈C(R, R)且满足如下条件:

$\begin{aligned} & \left(\mathrm{g}_1\right)-\infty<\lim\limits_{\overline{s \rightarrow 0^{+}}} \frac{g(s)}{s} \leqslant \varlimsup_{s \rightarrow 0^{+}} \frac{g(s)}{s}<0 ; \\ & \left(\mathrm{g}_2\right)-\infty<\varlimsup_{s \rightarrow \infty} \frac{g(s)}{s^{2^*-1}} \leqslant 0 ;\\ & \left(\mathrm{g}_3\right) 存在 \zeta_0>0, 使得\\ & G\left(\zeta_0\right)=\int_0^{\zeta_0} g(s) \mathrm{d} s>0 。 \end{aligned}$

上述条件(g₁)~(g₃)被认为是目前为止, 使得方程(2)有解的几乎最弱的条件(以下简称(BL)条件)。该条件引起了诸多学者的兴趣, 被众多知名学者从各个方面进行了推广和应用(见文献[2-4])。其中, AZZOLLINI^[2]将文献[1]中的自治情形推广到了非自治的情况, 即考虑方程(1)解的存在性和非存在性, 其位势V满足下面的假设:

(V₁) V∈C¹(Rⁿ, R)。对任意x∈Rⁿ, 有V(x)≥0, 且在某个正测集上严格大于号成立;

(V₂) $\left\|(\nabla V(x), x)^{+}\right\|_{n / 2}<2 S$ , 其中S是Sobolev嵌入D^{1, 2}(Rⁿ)→L^{2^*}(Rⁿ)的最佳常数, 即

$\begin{aligned} &S=\inf _{u \in D^{1, 2} \backslash\{0\}} \frac{\|\nabla u\|_2^2}{\|u\|_{2^*}^2}, 2^*=\frac{2 n}{n-2};\\ &\left(\mathrm{V}_3\right) V(x) \text { 径向对称, 即 } V(|x|)=V(x) \text {; }\\ &\left(\mathrm{V}_4\right) \lim\limits_{|x| \rightarrow \infty} V(x)=0 \text { 。 } \end{aligned}$

在文献[2] 中, V(x)满足(V₁)~(V₄)条件, g(s)满足(g₁)~(g₃)条件, 该文献得到方程(1)解的存在性。受文献[2]的启发, 本文也考虑薛定谔方程(1)解的存在性, 推广了文献[2]中的相关结果。

为简便起见, 在后面的叙述中, 将 $\int_{\mathbf{R}^n} h(x) \mathrm{d} x$ 简记为 $\int_{\mathbf{R}^n} h(x)$ 。

1. 预备知识

引理1(紧嵌入) 设H_r¹(Rⁿ)={u∈H¹(Rⁿ): u(|x|)=u(x)}, 则从H_r¹(Rⁿ)到L^p(Rⁿ)(2 < p < 2^*)的嵌入是紧的。

引理2(山路引理) 设E是实的Banach空间, S是E的闭子集, 并且将E分成E₁、E₂两个不同的连通分支。如果I∈C¹(E, R)满足下面的山路几何结构:

(ⅰ) 0∈E₁并且存在ρ>0, α>0, 使得I|_S≥α>0;

(ⅱ) 存在e∈E₂, ‖e‖>ρ, 使得I(e) < 0,

那么存在序列{u_n}⊂E满足:

$I\left(u_n\right) \rightarrow c \geqslant \alpha, I^{\prime}\left(u_n\right) \rightarrow 0,$

(3)

其中 $c=\inf\limits_{\gamma \in \varGamma} \sup\limits_{t \in[0, 1]} I(\gamma(t)), \varGamma=\{\gamma \in C([0, 1], E)$ ： $\gamma(0)=0, \gamma(1)=e\}$ 。满足(3)的序列{u_n}称为泛函I的(PS)序列。

2. 主要结果及证明

定理1 若g(s)∈C(R, R)且满足(g₁)和(g₂), V(x)满足条件(V₁)~(V₃)以及

(V_g) 存在ζ>0, 使得

$\lim\limits_{\overline{x \rightarrow+\infty}}\left(G(\zeta)-\frac{1}{2} V(x) \zeta^2\right)>0,$

则方程(1)存在正解。

证明分五步来完成定理1的证明。

第一步, 修正非线性项g(s)。

借鉴文献[5]中的思想, 对函数g做如下的修正: 令s₀=min{s∈[ζ₀, +∞): g(s)=0}, 若对任意s≥ζ₀, 有g(s)≠0, 则令s₀=+∞。构造函数 $\tilde{g}$ : R → R如下:

$\tilde{g}(s)= \begin{cases}g(s), & s \in\left[0, s_0\right], \\ 0, & s \in \mathbf{R} \backslash\left[0, s_0\right], \end{cases}$

(4)

则函数 $\tilde{g}$ 满足g的所有条件。由强极大值原理, 在 $\tilde{g}$ 下问题(1)的正解也是g之下问题(1)的正解。事实上, $\tilde{g}$ 下问题(1)的正解满足0≤u≤s₀, 故 $\tilde{g}$ (u)=g(u)。故而可以假设g由式(4)定义。

当s≥0时, 令

$\begin{aligned} & g_1(s)=(g(s)+m s)^{+}, \\ & g_2(s)=g_1(s)-g(s)^2。 \end{aligned}$

当s < 0时, g₁(s)=g₂(s)=0, 则g₁≥0, g₂≥0且

$\lim\limits_{s \rightarrow 0} \frac{g_1(s)}{s}=0,$

(5)

$\lim\limits_{s \rightarrow \infty} \frac{g_1(s)}{|s|^{2^*-1}}=0,$

(6)

$g_2(s) \geqslant m s, \forall s \geqslant 0,$

(7)

$\lim\limits_{s \rightarrow \infty} \frac{g_2(s)}{|s|^{2^*-1}}=0。$

(8)

根据式(5) ~ 式(8) 知, 对任意δ > 0, 存在C_δ >0使得

$g_1(s) \leqslant C_\delta|s|^{2^*-1}+\delta g_2(s),$

(9)

$G_2(s) \geqslant \frac{1}{2} m s^2,$

(10)

$G_1(s) \leqslant \frac{C_\delta}{2^*}|s|^{2^*}+\delta G_2(s),$

(11)

其中 $G_i(s) =\int_0^s g_i(t) \mathrm{d} t, i=1, 2$ 。

第二步, 证明泛函I满足山路几何结构(ⅰ)。

根据式(10)、式(11)和Sobolev不等式知，

$\begin{aligned} & I(u)=\frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}\left(|\nabla u|^2+V(x) u^2\right)-\int_{\mathbf{R}^n} G(u) \geqslant \\ & \qquad \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla u|^2+(1-\delta) \frac{m}{2} \int_{\mathbf{R}^n} u^2- \\ & \qquad \frac{C_\delta}{2^*} \int_{\mathbf{R}^n} u^{2^*} \geqslant \\ & \qquad \min \left\{\frac{1}{2}, (1-\delta) \frac{m}{2}\right\}\|u\|^2- \\ & \qquad \frac{C_\delta}{2^*} S^{-\frac{2^*}{2}}\|\nabla u\|_2^{2^*}, \end{aligned}$

其中0 < δ < 1。由上述不等式知, 存在足够小的ρ>0, 当‖u‖≤ρ, u≠0时, 有I(u)≥c>0, 从而得到泛函I满足山路几何结构(ⅰ)。

第三步, 证明泛函I满足山路几何结构(ⅱ)。

令θ>0足够大, $\bar{\zeta}=\zeta(\frac{\cdot}{\theta})$ , 则由Fatou引理,

$\begin{aligned} \varlimsup_{x \rightarrow \infty} I&(\bar{\zeta})=\varlimsup_{x \rightarrow \infty} I\left(\zeta\left(\frac{x}{\theta}\right)\right)= \\ & \varlimsup_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\theta^{n-2}}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla \zeta|^2+\frac{\theta^n}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V(\theta x) \zeta^2-\right.\\ &\theta^n \int_{\mathbf{R}^n} \left.G(\zeta)\right) \leqslant\\ &\frac{\theta^{n-2}}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla \zeta|^2-\\ &\theta^n\left(\int_{\mathbf{R}^n} \lim\limits_{\overline{x \rightarrow+\infty}}\left(G(\zeta)-\frac{1}{2} V(\theta x) \zeta^2\right)\right) 。 \end{aligned}$

取e=ζ, 根据(V_g)知, 当θ足够大时, 得到泛函I满足山路几何结构(ⅱ)。

第四步, 证明I的每个(PS)序列有界。

定义新的泛函J: H_r¹(Rⁿ)→ R如下：

$\begin{gathered} J(u)=\frac{n-2}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla u|^2+\frac{n}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V(x) u^2+ \\ \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) u^2-n \int_{\mathbf{R}^n} G(u) 。 \end{gathered}$

借助文献[6-7]中的证明思想, 构造Pohozaev型的(PS)序列。定义映射ψ: R×H_r¹(Rⁿ)→H_r¹(Rⁿ)如下:

$\psi(\theta, u)(x)=u\left(\mathrm{e}^{-\theta} x\right),$

则复合函数 $I \circ \psi$ 为

$\begin{aligned} & I(\psi(\theta, u))=\frac{\mathrm{e}^{(n-2) \theta}}{2} \int_{\mathbf{R}^n}|\nabla u|^2+ \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\mathrm{e}^{n \theta}}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V\left(\mathrm{e}^\theta x\right) u^2-\mathrm{e}^{n \theta} \int_{\mathbf{R}^n} G(u) 。 \end{aligned}$

由非线性项g(s)的增长性条件可知, $I \circ \psi$ 在R×H_r¹(Rⁿ)上连续可微。定义道路族 $\widetilde{\varGamma}=\{\tilde{\gamma} \in C\left([0, 1], \mathbf{R} \times H_r^1\left(\mathbf{R}^n\right)\right): \tilde{\gamma}(0)=(0, 0), (I \circ \psi)(\tilde{\gamma}(1)) <0\}$ 。

因为 $\varGamma=\{\psi \circ \widetilde{\gamma}: \tilde{\gamma} \in \widetilde{\varGamma}\}$ , 所以I和 $I \circ \psi$ 的山路值相等(见文献[6]), 即

$\tilde{c}=\inf\limits_{\tilde\gamma \in \widetilde{\varGamma}} \sup\limits_{\tau \in[0, 1]}(I \circ \psi)(\tilde{\gamma}(\tau))=c 。$

通过计算可知, 对任意(e, u)∈R×H_r¹(Rⁿ), 有

$\begin{aligned} & (I \circ \psi)^{\prime}\left(\theta_n, u_n\right)[e, u]= \\ & \qquad I^{\prime}\left(\psi\left(\theta_n, u_n\right)\right)\left[\psi\left(\theta_n, u\right)\right]+ \\ & \qquad J\left(\psi\left(\theta_n, u_n\right)\right) e。 \end{aligned}$

令v_n=ψ(θ_n, u_n), 则类似文献[6-7]可得，

$I\left(v_n\right) \rightarrow c, I^{\prime}\left(v_n\right) \rightarrow 0, J\left(v_n\right) \rightarrow 0,$

即{v_n}是I在临界水平c处的Pohozaev型(PS)序列, 也就是

$\begin{aligned} & \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}\left(\left|\nabla v_n\right|^2+V(x) v_n^2\right)-\int_{\mathbf{R}^n} G\left(v_n\right)= \\ & \qquad c+o_n(1), \end{aligned}$

(12)

$\begin{aligned} & \left\langle I^{\prime}\left(v_n\right), v_n\right\rangle=\int_{\mathbf{R}^n}\left(\left|\nabla v_n\right|^2+V(x) v_n^2\right)- \\ & \qquad \int_{\mathbf{R}^n} g\left(v_n\right) v_n=o_n(1), \\ \end{aligned}$

(13)

并且

$\begin{aligned} & \frac{n-2}{2} \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2+\frac{n}{2} \int_{\mathbf{R}^n} V(x) v_n^2+ \\ & \qquad \frac{1}{2} \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) v_n^2- \\ &\qquad n \int_{\mathbf{R}^n} G\left(v_n\right)=o_n(1) 。 \end{aligned}$

(14)

由Hölder不等式、(V₂)和Sobolev不等式得

$\begin{aligned} \int_{\mathbf{R}^n}( & \nabla V(x), x) v_n^2 \leqslant \\ & \left\|(\nabla V(x), x)^{+}\right\|_{n / 2}\left(\int_{\mathbf{R}^n} v_n^{\frac{2 n}{n-2}}\right)^{\frac{n-2}{n}}< \\ & 2 S\left(\int_{\mathbf{R}^n} v_n^{2^*}\right)^{\frac{n-2}{n}} \leqslant 2, \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2 \end{aligned}$

故存在较小的常数β>0, 使得

$\int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) v_n^2 \leqslant(2-\beta) \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2。$

(15)

通过计算式(12)- $\frac{1}{n}$ ×式(14), 并将式(15)代入得

$\begin{aligned} c+o_n&(1)=\frac{1}{n} \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2- \\ &\frac{1}{2 n} \int_{\mathbf{R}^n}(\nabla V(x), x) v_n^2 \geqslant \\ &\frac{\beta}{2 n} \int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2, \end{aligned}$

故存在常数C₁>0使得

$\int_{\mathbf{R}^n}\left|\nabla v_n\right|^2 \leqslant C_1。$

(16)

再由Sobolev嵌入知, 存在常数C₂>0使得

$\int_{\mathbf{R}^n} v_n^{2^*} \leqslant C_2 。$

由式(13)得

$\int_{\mathbf{R}^n} g\left(v_n\right) \mathfrak{v}_n=\int_{\mathbf{R}^n}\left(\left|\nabla v_n\right|^2+V(x) v_n^2\right) \geqslant 0。$

由上式再结合式(9)得

$\begin{aligned} & \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n \leqslant \int_{\mathbf{R}^n} g_1\left(v_n\right) v_n \leqslant \\ & \qquad C_\delta \int_{\mathbf{R}^n}\left|v_n\right|^{2^*}+\delta \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n。 \end{aligned}$

从而有

$\begin{aligned} & (1-\delta) \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n \leqslant C_\delta \int_{\mathbf{R}^n}\left|v_n\right|^{2^*} \leqslant \\ &\qquad C_\delta C_2 \leqslant。 \end{aligned}$

再由式(7)得

$m \int_{\mathbf{R}^n} v_n^2 \leqslant \int_{\mathbf{R}^n} g_2\left(v_n\right) v_n \leqslant \frac{C_\delta C_2}{1-\delta}。$

(17)

由式(16)、式(17)知，I的每个(PS)序列在H_r¹(Rⁿ)中有界, 这样就完成了第四步的证明。

第五步, 证明方程(1)有一个非平凡解。

因为I具有旋转不变性, 所以由对称临界原理知, I限制在H_r¹(Rⁿ)上的临界点也是I在全空间H¹(Rⁿ)上的临界点。由第二步和第三步的证明, 结合引理2知, 泛函I存在(PS)序列。要得到方程(1)的解, 只需要证明任意(PS)序列{v_n}存在收敛的子列即可。

事实上, 由第四步的证明知, I的每个(PS)序列有界, 故存在弱收敛的子列, 不妨仍记为{v_n}, 即存在v∈H_r¹(Rⁿ), 使得 $v_n \rightharpoonup \mathcal{v} \text { 于 } H_r^1\left(\mathbf{R}^n\right)$ 。又因为嵌入H_r¹(Rⁿ)→L^p(Rⁿ)(2 < p < 2^*)是紧的, 所以v_n→v于L^p(Rⁿ)。最后, 由非线性项满足的控制条件, 可以证明{v_n}存在收敛的子列。由此, 可以得到非平凡解的存在性, 再由极大值原理, 可得正解的存在性。证毕。

注记1 与文献[2]比较, 文中位势函数和非线性项满足的条件不同。文献[2]中, 在径向对称的条件下, 通过文献[8]中的单调技巧, 得到(PS)序列的有界性, 由Strauss引理得到紧性, 从而得到正解。此处, 借助Pohozaev恒等式, 利用山路引理和对称临界原理, 得到正解的存在性。

注记2 由文献[5](第2.2部分)知, 此处所给的关于g的条件是使得问题(1)有解的几乎最弱的条件。

3. 结束语

关于Berestycki-Lions条件下的薛定谔方程的可解性还有很多值得思考的问题, 例如: 在其他的位势下, 如强制位势、周期位势等, 是否也能考虑该问题?本文针对的是次临界增长的(BL)条件, 对临界增长的情形, 是否有类似结论?此外, 是否可以类似文献[9-11], 针对拟线性薛定谔方程考虑(BL)条件?这些都值得我们进一步地思考。

参考文献(11)

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[10]	XUE Yanfang, TANG Chunlei. Existence of a bound state solution for quasilinear Schrödinger equations[J]. Advances in Nonlinear Analysis, 2017, 8(1): 323-338. doi: 10.1515/anona-2016-0244
[11]	张萍, 韩建新. 一类拟线性薛定谔方程解的存在性[J]. 信阳师范学院学报(自然科学版), 2019, 32(3): 352-356. doi: 10.3969/j.issn.1003-0972.2019.03.002 ZHANG Ping, HAN Jianxin. Existence of solutions for a class of quasilinear Schrödinger equations[J]. Journal of Xinyang Normal University(Natural Science Edition), 2019, 32(3): 352-356. doi: 10.3969/j.issn.1003-0972.2019.03.002

施引文献(1)

期刊类型引用(1)

陶钬，李麟. 一类p-双调和方程的Berestycki-Lions结果. 西华师范大学学报(自然科学版). 2024(03): 261-266 .

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