Mechanical Analysis of Pressure Type Cables Subject to Fractional Viscoelastic Model
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摘要:
考虑到注浆体和岩体的黏弹性变形特点，基于弹性空间理论的Kelvin解，并结合分数导数理论、黏弹性理论，推导出压力型锚索系统锚固段的压应力和锚索孔与注浆体间的剪应力黏弹性解析解形式，利用MATLAB数值软件分析了分数阶数值、承压板半径以及剪切模量等因素对锚索应力分布的影响.结果表明：分数阶黏弹性模型描述的锚索系统的应力值低于经典黏弹性模型，并且分数阶数值和剪切模量会对锚索应力产生很大影响，研究成果补充了压力型锚索力学分析理论.
Abstract:Considering the viscoelastic deformation characteristics of grouting body and rock mass, and based on the Kelvin solution of elastic space theory, combined with fractional derivative theory and viscoelastic theory, then derived the compressive stress and anchor hole of the anchorage section of pressure anchor cable system. Meanwhile, the analytical solution of shear stress and viscoelasticity between the grouting body and the influence of factors such as fractional order value, bearing plate radius and shear modulus on the stress distribution of anchor cable are obtained by using MATLAB numerical software. The results showed that the stress value of the anchor cable system described by the fractional viscoelastic model is lower than that of the classical viscoelastic model, and the fractional value and shear modulus have a great influence on the cable stress. The results enrich the theory of mechanical analysis of pressure anchors.
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0. 引言
预应力锚索技术由于能调节岩体和软弱土层的自身强度，较好发挥岩体的自承能力，近些年来被广泛应用于基坑支护、矿山边坡以及水利水电工程[1]等的边坡加固中，常见的结构形式有压力型和荷载分散型.其中压力型锚索的承载能力在同等条件下性能要优于拉力型锚索，并且受力较合理，但目前对于压力型锚索的设计使用，更多地依赖于经验，其理论研究远远落后于实际工程应用.
目前对于压力型锚索的研究已取得众多可观成果，例如：夏元友等[2]将岩体视为横观各向同性体，分析了岩体弹性模量、锚索孔径以及剪切模量对风化岩体中剪应力分布的影响，其研究结果为实际工程提供理论参考.叶红[3]考虑到风化岩体和砂浆会对锚索孔附近岩体产生影响，利用FLAC3D软件分析了风化砂岩中锚索孔附近的动应力在地震作用下的变化情况，讨论了预应力荷载、垂直锚索距离以及地震载荷峰值对应力分布曲线的影响，丰富了压力型锚索抗震理论.王艳芬[4]基于空间无限体理论中的Kelvin解，推导并分析了压力型锚索锚固段临近岩体中附加应力作用范围.叶红等[5]讨论了当有地震作用时压力型锚索系统在圆形均布荷载作用下产生的压应力的影响因素，具体分析了承压板半径、预应力大小以及地震烈度等因素的影响，为压力型锚索抗震设计提供理论支持.
目前针对预应力锚索开展的研究已经获得了很多开拓性进展.预应力锚索系统对于软弱土层和存在破碎岩体的矿山边坡、建筑基坑等工程的加固具有优良的治理效果，在锚固工程中，经常会遇到譬如软弱土层等这些工况条件，这些土层和岩体具有天然的黏弹性质.在以往的研究中，往往假定岩体变形为线弹性而忽略了岩体的黏弹性变形特点，已经有不少学者在对建筑桩基、隧道[6, 7]等土工建筑进行力学分析时考虑到土体的这种黏弹性变形, 并取得了丰富的成果.因此如果考虑岩体的黏弹性变形特点、较准确地分析锚索应力分布，将具有十分重要的理论意义和应用价值.本文将应用全空间内有集中力作用时的Kelvin黏弹性解析解, 分析均布荷载作用下压力型锚索锚固段的应力分布，以期得到一些有意义的结论.
1. 力学模型及弹性解析解形式
由于压力型锚索承压板附近的锚固段为主要受力区域，由于锚固段一般离锚孔距离很远，而且整个锚索系统的受力基本属于轴对称情形[4]，基于上述条件，可以将压力型锚索系统的受力看作是全空间内某点作用有集中力的情况考虑，因此可以把对压力型锚索受力机理的分析看作弹性空间理论中的Kelvin解来讨论.
Kelvin解是在全空间内某点作用有集中力时的基本解，很多工程问题都可以简化为这种分析模型进行解答，形式为[8]：
w=\frac{P(1+\nu)}{8 {\rm{ \mathsf{ π} }} E(1-\nu)}\left[\frac{2(1-2 \nu)}{R}+\frac{1}{R}+\frac{z^2}{R^3}\right], (1) u_r=\frac{P(1+\nu) r z}{8 {\rm{ \mathsf{ π} }} E(1-\nu) R^3}, (2) \sigma_z=-\frac{P}{8 {\rm{ \mathsf{ π} }}(1-\nu)}\left[\frac{(1-2 \nu) z}{R^3}+\frac{3 z^3}{R^5}\right], (3) \sigma_r=\frac{P(1+\nu)}{8 {\rm{ \mathsf{ π} }}(1-\nu)}\left[\frac{(1-2 \nu) z}{R^3}+\frac{3 r^2 z}{R^5}\right], (4) \sigma_\theta=\frac{P(1-2 \nu) z}{8 {\rm{ \mathsf{ π} }}(1-\nu) R^3}, (5) \tau_{r z}=-\frac{P}{8 {\rm{ \mathsf{ π} }}(1-\nu)}\left[\frac{(1-2 \nu) r}{R^3}+\frac{3 r z^2}{R^5}\right], (6) 其中: P为作用在锚索系统的竖向集中荷载(kN)；E和ν分别为系统的杨氏模量(MPa)和泊松比；w和ur分别是锚索系统的竖向和径向位移；σθ、σz、σr分别是相应的环向、竖向、径向压应力；τrz为剪应力；r为锚索孔半径，满足r=\sqrt{x^2+y^2}；z是竖向坐标，有：R=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
由于在压力型锚索系统中，系统整体失效常常是由于注浆体受压以及锚索孔壁和注浆体之间受剪引起的，所以在这里主要分析锚固段注浆体处的压应力σz和锚索孔壁-注浆体间的剪应力τrz，相对应的Kelvin解形式为式(3)和式(6).
在压力型锚索系统里，施加的预应力通过锚索传递给承压板，承压板将集中力的作用以圆形均布荷载的形式传递给注浆体，文献[4]中的研究方法将集中力考虑为圆形均布荷载更符合实际情况，如图 3所示，假定R=\sqrt{r^2+z^2+r_1^2}，对于无限空间内的某一点(x, y, z)处的应力对dP=qr1dθdr1积分可以得到对应的应力解为：
\begin{aligned} \sigma_z= & -\frac{q z}{4\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}} \frac{(1-2 \nu)}{(1-\nu)}+ \\ & \frac{q z}{4\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}} \frac{(1-2 \nu)}{(1-\nu)}- \\ & \frac{q z}{4(1-\nu)}\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right], \end{aligned} (7) \begin{aligned} \tau_{r z}= & \frac{q r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}} \frac{(1-2 \nu)}{(1-\nu)}- \\ & \frac{q r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}} \frac{(1-2 \nu)}{(1-\nu)}+ \\ & \frac{q r}{4(1-\nu)}\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right], \end{aligned} (8) 其中q为圆形均布荷载(kN/m2)，式(8)即为压力型锚索对应于Kelvin应力弹性基础解.
2. 分数导数模型描述的黏弹性解析解
分数导数模型相比传统的经典黏弹性模型[9]，具有很多的优点，较常用的分数模型有：分数阶Maxwell模型、分数阶Kelvin模型和分数阶Zener模型等，这里采用分数导数Kelvin模型描述压力型锚索系统的本构关系，假设体积变形为弹性，则三维微分型分数阶Kelvin本构关系表示为[10]：
P^{\prime} S_{i j}(t)=Q^{\prime} e_{i j}(t), (9) \sigma_{k k}(t)=3 K \varepsilon_{k k}(t), (10) 式(9)中微分算子表示为：
P^{\prime}=1, Q^{\prime}=G_k+\eta_k \frac{\mathrm{d}^\alpha}{\mathrm{d} t^\alpha}, (11) 式中Dα为Riemann-Liouville分数微分算子(0 < α < 1)，满足[11]：
D^\alpha[x(t)]=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_0^t \frac{x(\tau)}{(t-\tau)^\alpha} \mathrm{d} \tau, (12) Γ(z)为Gamma函数，满足：
\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t, \operatorname{Re} z>0 . 零初始条件下，Dα[f(t)]的Laplace变换式为：
L\left[D^\alpha f(t)\right]=s^\alpha F(s), (13) 其中F(s)是f(t)的Laplace变换式.
对式(11)进行Laplace变换：
P^{\prime}(s)=1, Q^{\prime}(s)=G_k+\eta_k s^\alpha . (14) 由式(14)可以得到分数阶Kelvin模型对应的E和ν的Laplace变换为：
\left\{\begin{array}{l} \bar{E}(s)=\frac{9 K\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right)}{6 K+G_k+\eta_k s^\alpha}, \\ \bar{\nu}(s)=\frac{3 K-2\left(G_k-\eta_k s^\alpha\right)}{6 K+2\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right)} . \end{array}\right. (15) 假设圆形均布荷载形式为：
q(t)=q_0 H(t). (16) 通过Laplace变换容易得到：
\bar{q}=\frac{1}{s} \cdot q_0. (17) 结合式(7)、式(8)、式(15)和式(17)并利用弹性-黏弹性比拟原理[9]可以得到分数阶Kelvin黏弹性应力解在Laplace平面内的解为：
\begin{aligned} \bar{\sigma}(s)=& \\ & \frac{6}{\frac{3 K}{\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}+\frac{4}{s}}\left[\frac{-q_0 z}{4\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}+\frac{q_0 z}{4\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right]- \\ & \frac{q_0 z}{4}\left[\frac{\frac{3}{2} K}{\left(\frac{3}{4} K+G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}+\frac{2}{\frac{3 K}{\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}+\frac{4}{s}}\right] \cdot \\ & {\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right], } \end{aligned} (18) \begin{aligned} \bar{\tau}_{r z}(s) & =\frac{6}{\frac{3 K}{\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}+\frac{4}{s}} \cdot \\ & {\left[\frac{q_0 r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}-\frac{q_0 r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right]+} \\ & \frac{q_0 r}{4}\left[\frac{\frac{3}{2} K}{\left(\frac{3}{4} K+G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}+\frac{2}{\frac{3 K}{\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}+\frac{4}{s}}\right] \cdot \\ & {\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right] . } \end{aligned} (19) 利用分数导数性质：
L^{-1}\left[\frac{1}{\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}\right]=\frac{1}{G_k}\left[1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau}\right)^\alpha\right]. (20) 式中Eα为单参数Mittag-Leffler函数，定义为：
E_\alpha(t)=\sum\limits_{\alpha=0}^{\infty} \frac{t^n}{\Gamma(1+\alpha n)} . (21) 利用式(20)对式(18)、式(19)进行Laplace逆变换可得到竖向集中力作用下的分数导数全空间锚索系统内任一点处的应力值为：
\begin{aligned} \sigma_z= & \frac{6}{\frac{3 K}{G_k}\left[1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau_1}\right)^\alpha\right]+4}\cdot \\ & {\left[\frac{-q_0 z}{4\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}+\frac{q_0 z}{4\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right]-} \\ & \frac{q_0 z}{4}\left[\frac{\frac{3}{2} K}{\frac{3}{4} K+G_k}\left(1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau_2}\right)^\alpha\right)+\right. \\ & \left.\frac{2}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau_1}\right)^\alpha\right)+4}\right] \cdot \\ & {\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right]} \end{aligned} (22) \begin{aligned} \tau_{r z}=& \frac{6}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau_1}\right)^\alpha\right)+4} \cdot \\ & {\left[\frac{q_0 r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}-\frac{q_0 r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right]+} \\ & \frac{q_0 r}{4}\left[\frac{\frac{3}{2} K}{\frac{3}{4} K+G_k}\left(1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau_2}\right)^\alpha\right)+\right. \\ & \left.\frac{2}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-E_\alpha\left(-\frac{t}{\tau_1}\right)^\alpha\right)+4}\right] \text {. } \\ & {\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right] .} \end{aligned} (23) 当α=1时，分数微分算子式(11)变为：
P^{\prime}=1, Q^{\prime}=G_k+\eta_k \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}. (24) 此时分数阶Kelvin模型转化为经典Kelvin模型[12]，对应的E和ν的Laplace变换式(15)转换为：
\left\{\begin{array}{l} \bar{E}(s)=\frac{9 K\left(G_k+\eta_k s^1\right)}{6 K+G_k+\eta_k s^1}=\frac{9 K\left(G_k+\eta_k s\right)}{6 K+G_k+\eta_k s}, \\ \bar{\nu}(s)=\frac{3 K-2\left(G_k-\eta_k s^1\right)}{6 K+2\left(G_k+\eta_k s^1\right)}=\frac{3 K-2\left(G_k-\eta_k s\right)}{6 K+2\left(G_k+\eta_k s\right)} . \end{array}\right. (25) 相对应式(21)中单参数Mittag-Leffler函数变为：
E_\alpha(t)=\sum\limits_0^{\infty} \frac{t^n}{\mathit{\Gamma }(1+n)}=\sum\limits_0^{\infty} \frac{t^n}{n!}=\mathrm{e}^t, (26) 则Laplace求逆公式(20)变为：
\begin{aligned} L^{-1}& \left[\frac{1}{\left(G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}\right]= \\ & \frac{1}{G_k}\left[1-E_1\left(-\frac{t}{\tau_1}\right)\right]=\frac{1}{G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_1}\right)\right), \\ L^{-1}& \left[\frac{\frac{3}{2} K}{\left(\frac{3}{4} K+G_k+\eta_k s^\alpha\right) s}\right]=\frac{\frac{3}{2} K}{\frac{3}{4} K+G_k}\left[1-E_1\left(-\frac{t}{\tau_2}\right)\right]= \\ & \frac{\frac{3}{2} K}{\frac{3}{4} K+G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_2}\right)\right), \end{aligned} (27) 式中：
\tau_1=G_k / \eta_k, \tau_2=G_k /\left(\frac{3}{4} K+G_k\right) . 结合式(24)、式(25)、式(26)和式(27)，则对应的分数阶黏弹性锚索系统应力解式(22)和式(23)变为：
\begin{aligned} \sigma_z= & \frac{6}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_1}\right)\right)+4}\left[\frac{-q_0 z}{4\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}+\frac{q_0 z}{4\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right]- \\ & \frac{q_0 z}{4}\left[\frac{\frac{3}{2} K}{\frac{3}{4} K+G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_2}\right)\right)+\frac{2}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_1}\right)\right)+4}\right] \cdot \\ & {\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right], } \end{aligned} (28) \begin{aligned} \tau_{r z}= & \frac{6}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_1}\right)\right)+4}\left[\frac{q_0 r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}-\frac{q_0 r}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }}\left(r^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}}\right]+ \\ & \frac{q_0 r}{4}\left[\frac{\frac{3}{2} K}{\frac{3}{4} K+G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_2}\right)\right)+\frac{2}{\frac{3 K}{G_k}\left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau_1}\right)\right)+4}\right]\cdot \\ & {\left[\frac{z^2}{\left(r^2+c^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{z^2}{\left(r^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\right] . } \end{aligned} (29) 式(28)和式(29)即为经典黏弹性模型描述的压力型锚索系统的应力解析解.即当α=1时竖向集中力作用下全空间无限分数阶黏弹性锚索系统的应力便蜕化为经典黏弹性锚索系统的应力解.
3. 数值算例
某建筑基坑开挖深度较大，现采用压力型锚索技术进行边坡加固来提高基坑稳定性.经现场检测该边坡的泊松比ν=0.2，锚索孔半径c=0.065 m，承压板位于锚索孔下3.5 m处(z=3.5 m)，等效均布荷载大小为q=1×105 N，同时取分数Kelvin黏弹性模型的本构模型参数分别为[12]：Gk=2×105 N/m2，ηk=9×107 N/m2, K=2×105 N/m2.
利用MATLAB数值分析软件编写相应程序，可以得到不同时刻锚固段压应力和界面剪应力值随分数阶数值α的变化曲线如图 4和图 5所示.这里分别取不同的分数阶数值(α=0.6、0.7、0.8、0.9、1.0)，从图中可以看出：锚索的应力随时间会呈现出明显的松弛现象，这与注浆体和岩体的黏弹性质密切相关，应力值随时间变化逐渐减小，并且分数阶数值α越小，这种减小的幅度越大，当α值接近1时，曲线和经典黏弹性模型描述的应力变化曲线接近.
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图 4 不同分数阶数值α对应压应力分布图Figure 4. Distribution of compressive stress under different fractional order values of α![]()
图 5 不同分数阶数值α对应剪应力分布图Figure 5. Distribution of shear stress under different fractional order values of α由此可见：针对不同的地质环境，选用不同的分数阶数值的大小，分析得到的锚索的应力分布也会不同.因此针对不同性质的岩体情况，例如软弱土层和破碎岩体，这类地质环境的黏弹性质更偏向流体的性质，可以选用较小的分数阶数值来描述; 而对一些较坚硬的土层或岩体，可以选用较大的分数阶数值表征其应力分布，这体现出分数阶导数模型能在较大的范围内表征黏弹性体受力机理的优点.
图 6和图 7反映的是不同时刻锚索压应力和剪应力随承压板半径的变化曲线，从图中看出：随着承压板半径的增大，无论是锚固段压应力还是剪应力值都会减小，这与文献[3]中的分析结果一致.
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图 6 不同承压板半径下压应力分布图Figure 6. Distribution of compressive stress under different bearing plate radius![]()
图 7 不同承压板半径下剪应力分布图Figure 7. Distribution of shear stress under different bearing plate radius为了分析锚固段锚索沿径向的应力分布，图 8和图 9反映的是在不同纵向深度下的锚索应力沿径向的变化曲线.
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图 8 不同z值处剪应力径向分布图Figure 8. Radial distribution of shear stress at different values of z![]()
图 9 不同z值处压应力径向分布图Figure 9. Radial distribution of compressive stress at different values of z可以看出：σz在r=0处最大，并随着r的增大而逐渐衰减，并且随着纵向深度z的增大其衰减速率变慢.由图 9可以看出：在r=0处剪应力τ趋于零，而后随着r增大τ值在不断增大，在到达峰值后剪应力逐渐衰减，并且随着z的增大应力峰值逐渐减小，所对应的剪应力变化趋势越平缓.
图 10和图 11反映了分数阶数值α对锚索应力值的影响，由图 10可以看出：在z=0处，σz值趋于零，而后随着纵向深度z的增大，σz在增大到峰值应力后呈指数形式衰减，分数阶数值α的大小影响的只是σz峰值的大小，不会影响整体的应力分布.
由图 10可以看出：不同的分数阶数值α在相同深度z处得到的应力值也不同，相比传统的黏弹性模型来说其适用范围更广.由图 11可以看出：分数阶数值α对剪应力τrz的影响和对压应力的影响基本一致，随着纵向深度的增加，τrz在增加到最大值后开始下降并趋于某一稳定值.
图 12和图 13考虑的是剪切模量G对锚索应力分布的影响，图中参数值取：G1=2×105 N/m2, G2=2.5×105 N/m2, G3=4×105 N/m2.
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图 12 不同G值下压应力沿z向分布图Figure 12. Distribution of compressive stress along the z-direction under different values of G![]()
图 13 不同G值下剪应力沿z向分布图Figure 13. Distribution of shear stress along the z-direction under different values of G由图 12和图 13可以看出：1)随着剪切模量G的增大，所对应的压应力σz和剪应力τ值会发生显著变化，剪切模量值G越大，其对应的压应力和剪应力峰值越大，随着纵向深度z的加深，应力值会在增加到最大峰值后开始下降; 2)压应力值σz随着z向深度的加深会逐渐趋于零，而剪应力τ值不会变化到零. 因此在对黏弹性压力型锚索进行力学分析时，模型剪切模量对应力的影响不能忽略.
4. 结论
基于弹性空间理论的Kelvin基本解，同时考虑了注浆体和岩体自身的黏弹性质，并采用分数阶黏弹模型描述黏弹性锚索系统的本构关系，推导出压力型锚索系统锚固段的压应力、剪应力黏弹性解析解并借助MATLAB数值软件分析了不同因素对黏弹性压力型锚索系统的影响.
结果表明：采用分数阶黏弹性模型所得到的锚索系统锚固段应力值要比经典黏弹性模型小，在基坑边坡的治理过程中，可以根据实测边坡地质环境选用合适的α值描述黏弹性岩体对锚索系统应力值的影响，同时要考虑剪切模量G的影响，另外适当增大承压板半径也会减小峰值应力带来的不利影响.研究成果补充了压力型锚索力学分析理论，可为边坡治理提供理论参考.
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图 4 不同分数阶数值α对应压应力分布图
Figure 4. Distribution of compressive stress under different fractional order values of α
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图 5 不同分数阶数值α对应剪应力分布图
Figure 5. Distribution of shear stress under different fractional order values of α
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图 6 不同承压板半径下压应力分布图
Figure 6. Distribution of compressive stress under different bearing plate radius
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图 7 不同承压板半径下剪应力分布图
Figure 7. Distribution of shear stress under different bearing plate radius
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图 8 不同z值处剪应力径向分布图
Figure 8. Radial distribution of shear stress at different values of z
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图 9 不同z值处压应力径向分布图
Figure 9. Radial distribution of compressive stress at different values of z
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图 12 不同G值下压应力沿z向分布图
Figure 12. Distribution of compressive stress along the z-direction under different values of G
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