一类具有标准发生率和总人口变化的SIRS模型的全局稳定性分析

周会娟; 兰曼

doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2020.03.002

一类具有标准发生率和总人口变化的SIRS模型的全局稳定性分析

周会娟^,,
兰曼

洛阳理工学院数学与物理教学部, 河南洛阳 471000

基金项目:

国家自然科学基金项目 61573016

详细信息

作者简介:
周会娟(1981-), 女, 河南洛阳人, 讲师, 硕士, 主要从事应用数学研究

通讯作者:
周会娟, E-mail: lyzhouhuijuan@163.com

中图分类号: O175.2
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出版历程
- 收稿日期: 2019-08-14
- 修回日期: 2019-10-15
- 刊出日期: 2020-07-09

Global Stability of a Kind of SIRS Model with Standard Incidence Rate and Nonconstant Total Population

Huijuan ZHOU^,,
Man LAN

Department of Mathematics and Physics, Luoyang Institute of Science and Technology, Luoyang 471000, China

摘要

摘要:
考虑总人口变化且康复个体不具终身免疫的情况，建立了一类具有标准发生率的SIRS传染病模型.应用更新方程得到了模型的基本再生数R₀.通过构造Lyapunov函数证明平了衡点的全局稳定性.结果显示：当R₀<1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当R₀>1且失去免疫的速率（δ）充分大时，地方病平衡点是全局渐近稳定的.
- SIRS模型 /
- 全局稳定性 /
- 基本再生数 /
- 标准发生率
Abstract:
Considering the case in which the total population is nonconstant and the lifelong immunity of population is absent, a kind of SIRS model with standard incidence is proposed. The basic reproduction number R₀ is obtained by a renewal equation. Moreover, the global stability of equilibria is proved by a suitable Lyapunov function. The results show that if R₀<1, then the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable; if R₀>1 and the loss rate of immunity is large enough, then the endemic equilibrium is globally stable.
- SIRS model /
- global stability /
- basic reproduction number /
- standard incidence rate

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0. 引言

目前，数学模型已被广泛地应用于传染病动力学的研究^{[1, 2]}, 其中SIS模型和SIR模型是两种经典的传染病动力学模型.这两种模型的差别在于个体对疾病的免疫力不同, SIR模型描述的是个体对疾病具有永久免疫力, 而SIS模型描述的是暂时免疫.由于疾病传播发生率描述和体现了接触方式等可能的传染途径对传染病传播的影响, 因此其对疾病的传播发展起到重要作用.经典的疾病发生率函数有：双线性发生率(βSI)和标准发生率(βSI/N), 其中S和I分别表示易感和被感染个体的数量, β表示传播速率，N为总人口数量.

近年来, 很多学者对具有这两类发生率函数的常微分方程、偏微分方程、随机方程等的动力学模型进行了研究^[3-8].对这些模型全局动力学性质的研究将有助于相关政府部门采取措施控制疾病传播.用于研究传染病模型的全局动力学性质的方法有：构造Lyapunov函数、单调系统以及构造单调序列等.后两种方法对系统结构要求较高, 必须具有单调结构; 构造Lyapuonv函数的方法普适性更高, 但构造技巧要求较高.

在全局动力学的研究中, 具有非永久性免疫的SIRS模型全局动力学性质具有挑战性，一直没有得到彻底的解决^{[5, 9]}.虽然，文献[3-8]用各种方法解决SIRS模型的全局稳定性，但所得结论都含有与时间有关的假设.这种假设会随时间的变化而改变，在实际疾病的控制中不够合理.本文将通过构造Lyapunov函数来研究具有标准发生率和总人口变化的SIRS模型平衡点的全局动力学性质，并得到较为合理的条件.

1. 模型建立及局部性质

采用SIRS模型的建模思想^{[7, 8]}, 总种群数量被分为三类：易感染者、感染者和康复者, 分别用S(t)、I(t)、R(t)表示, 假设康复者类的个体按速率δ失去免疫力, 再次变成易感者类, 则可用下面的系统来描述暂时性免疫机理：

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}=\Lambda-\frac{\beta S I}{N}-\mu S+\delta R, \\ \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}=\frac{\beta S I}{N}-(\mu+\gamma+\alpha) I, \\ \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} t}=\gamma I-(\mu+\delta) R.\end{array}\right.$

(1)

其中：S=S(t), I=I(t), R=R(t)表示t时刻各种群人口的数量；Λ表示出生率；μ表示自然死亡率；β表示传播速率；α表示由疾病引起的死亡率；γ表示感染个体治愈率.N(t)=S(t)+I(t)+R(t)表示总种群大小.考虑N=N(t)是可变的且感染函数率取βSI/N这种标准形式，则系统(1)可以改写为：

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=\Lambda-\mu N-\alpha I , \\ \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}=\frac{\beta(N-I-R) I}{N}-(\mu+\gamma+\alpha) I , \\ \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} t}=\gamma I-(\mu+\delta) R .\end{array}\right.$

(2)

容易计算得到，系统(2)存在无病平衡点

$E_0=\left(N^0, 0, 0\right)=\left(\frac{\varLambda}{\mu}, 0, 0\right),$

在无病平衡点E₀处线性化系统(2)可得：

$I^{\prime}=\beta I-(\mu+\gamma+\alpha) I,$

(3)

求解式(3)可得

$\begin{aligned} & I(t)=I_0 \mathrm{e}^{-(\mu+\gamma+\alpha) t}+ \\ & \quad \beta \int_0^t \mathrm{e}^{-(\mu+\gamma+\alpha)(s)} I(t-s) \mathrm{d} s.\end{aligned}$

(4)

式(4)为一个更新方程, 因此通过文献[10]的方法得模型(1)的基本再生数为

$R_0=\frac{\beta}{\mu+\gamma+\alpha}.$

(5)

假设系统(2)有和时间无关的解E^*=(N^*, I^*, R^*), 则其满足：

$\left\{\begin{array}{l}0=\varLambda-\mu N^*-\alpha I^*, \\ 0=\frac{\beta\left(N^*-I^*-R^*\right) I^*}{N^*}-(\mu+\gamma+\alpha) I^*, \\ 0=\gamma I^*-(\mu+\delta) R^* .\end{array}\right.$

(6)

求解方程组(6)可得地方病平衡点E^*，并有下面的定理1：

定理1 如果R₀>1, 那么系统(2)存在唯一正的地方病平衡点E^*=(N^*, I^*, R^*), 其中

$\begin{aligned} N^* & =\frac{\Lambda \beta \mu}{\beta \mu+\alpha(\mu+\delta)\left(R_0-1\right)} , \\ I^* & =\frac{\Lambda(\mu+\delta)\left(R_0-1\right)}{\beta \mu+\alpha(\mu+\delta)\left(R_0-1\right)}, \\ R^* & =\frac{\gamma}{(\mu+\delta)} I^*.\end{aligned}$

2. 全局动态分析

下面讨论系统(2)的全局动力学性质，对于无病平衡点E₀有定理2：

定理2 如果R₀<1, 那么无病平衡点E₀是全局渐近稳定的.

证明构造Lyapunov函数V(t)=I(t).并对其求全导数, 可得

$\begin{aligned} & V^{\prime}(t)=I^{\prime}(t)= \\ & \qquad \frac{\beta(N-I-R) I}{N}- \\ & \qquad(\mu+\gamma+\alpha) I \leqslant \\ & \qquad[\beta-(\mu+\gamma+\alpha)] I= \\ & \qquad(\mu+\gamma+\alpha)\left(R_0-1\right) I.\end{aligned}$

显然，当且仅当I=0时等号成立.把I=0代入系统(2)第一个方程可知，当t→∞时N→N⁰.进而, 无病平衡点E₀是全局渐近稳定的.证毕.

接下来, 考虑地方病平衡点E^*的全局稳定性.系统(2)可以改写为

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=-\mu\left(N-N^*\right)-\alpha\left(I-I^*\right), \\ \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}=\beta I\left(\frac{N-I-R}{N}-\frac{N^*-I^*-R^*}{N^*}\right), \\ \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} t}=\gamma\left(I-I^*\right)-(\mu+\delta)\left(R-R^*\right) .\end{array}\right.$

(7)

并有定理3：

定理3 如果R₀>1且μ+2δ>α, 那么对于任何初值(N₀, I₀, R₀)∈R₊³, 地方病平衡点E^*是全局渐近稳定的.

证明构造Lyapunov函数

$V(t)=V_N(t)+V_I(t)+V_R(t),$

其中

$\begin{aligned} & V_N(t)=N-N^*-N^* \ln \frac{N}{N^*} , \\ & V_I(t)=a_2\left(I-I^*-I^* \ln \frac{I}{I^*}\right), \\ & V_R(t)=\frac{a_3}{2 N}\left(R-R^*\right)^2, \end{aligned}$

这里a₂和a₃为待定系数.对系统(7)中的V_N(t)进行求导可得

$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} V_N(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{N-N^*}{N} N^{\prime}(t)= \\ & \qquad \frac{N-N^*}{N}\left(-\mu\left(N-N^*\right)-\alpha\left(I-I^*\right)\right)= \\ & \qquad-\mu \frac{\left(N-N^*\right)^2}{N}-\alpha I^*\left(1-\frac{N^*}{N}\right)\left(1-\frac{I}{I^*}\right) .\end{aligned}$

(8)

计算V_I(t)的全导数可得

$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} V_I(t)}{\mathrm{d} t}=a_2 \frac{\left(I-I^*\right)}{I} I^{\prime}(t)= \\ &\qquad a_2 \beta\left(I-I^*\right)\left(\frac{I^*+R^*}{N^*}-\frac{I+R}{N}\right)= \\ & \qquad \frac{a_2 \beta I^*}{N^*}\left(I^*+R^*\right)\left(1-\frac{N^*}{N}\right)\left(\frac{I}{I^*}-1\right)- \\ &\qquad \frac{a_2 \beta I^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)^2+ \\ &\qquad \frac{a_2 \beta I^* R^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)\left(1-\frac{R}{R^*}\right) .\end{aligned}$

(9)

类似地，对V_R(t)求全导数可得

$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} V_R(t)}{\mathrm{d} t}=a_3 \frac{R-R^*}{N} R^{\prime}(t)- \\ & \qquad \left(\frac{a_3}{2} \frac{\left(R-R^*\right)}{N}\right)^2 N^{\prime}(t)= \\ &\qquad \frac{a_3 \gamma R^* I^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)\left(\frac{R}{R^*}-1\right)- \\ & \qquad a_3(\mu+\delta)\left(R-R^*\right)^2- \\ &\qquad \frac{a_3}{2}\left(\frac{\left(R-R^*\right)}{N}\right)^2 N^{\prime}(t) .\end{aligned}$

(10)

对式(8)、式(9)和式(10)求和可得

$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=-\mu \frac{\left(N-N^*\right)^2}{N}+ \\ & \qquad\left(\frac{a_2 \beta}{N^*}\left(I^*+R^*\right)-\alpha\right) I^*\left(1-\frac{N^*}{N}\right)\left(1-\frac{I}{I^*}\right)- \\ &\qquad \frac{a_2 \beta I^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)^2+ \\ & \qquad\left(a_2 \beta-a_3 \gamma\right) \frac{I^* R^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)\left(1-\frac{R}{R^*}\right)- \\ & \qquad a_3 \frac{\left(R-R^*\right)^2}{2 N}\left(N^{\prime}(t)+2(\mu+\delta) N\right)= \\ & \qquad-\mu \frac{\left(N-N^*\right)^2}{N}+ \\ &\qquad \left(\frac{a_2 \beta}{N^*}\left(I^*+R^*\right)-\alpha\right) I^*\left(1-\frac{N^*}{N}\right)\left(1-\frac{I}{I^*}\right)- \\ &\qquad \frac{a_2 \beta I^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)^2+ \\ &\qquad \left(a_2 \beta-a_3 \gamma\right) \frac{I^* R^*}{N}\left(\frac{I}{I^*}-1\right)\left(1-\frac{R}{R^*}\right)- \\ &\qquad a_3 \frac{\left(R-R^*\right)^2}{2 N}(\Lambda+(\mu+2 \delta)(S+ \\ &\qquad R)+(\mu+2 \delta-\alpha) I) .\end{aligned}$

(11)

因此, 取

$a_2=\frac{\alpha N^*}{\beta\left(I^*+R^*\right)}, a_3=\frac{\alpha N^*}{\gamma\left(I^*+R^*\right)},$

则有

$\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t} \leqslant-\frac{\alpha N^*\left(R-R^*\right)^2}{2 N \gamma\left(I^*+R^*\right)}(\varLambda+ \\ & \quad(\mu+2 \delta)(S+R)+(\mu+2 \delta-\alpha) I).\end{aligned}$

(12)

因此, 若μ+2δ>α, 则V′(t)≤0. 其最大不变集{(N, I, R)∈R₊³|V(t)=0}为平衡点E^*.由LaSalle不变集原理可知，当R₀>1且μ+2δ>α时, 地方病平衡点E^*是全局渐近稳定的.证毕.

3. 结论

本文通过构造恰当的Lyapunov函数的方法得出SIRS模型的全局渐近稳定性.从证明过程可以看出该方法有很大的技巧性, 特别依赖于模型的结构和所构造的Lyapunov函数.但本文仅当免疫丧失率比较大(即μ+2δ>α)时，证明了地方病平衡点的全局稳定性.当这一条件不满足时, 地方病平衡点是否仍稳定仍然是一个公开问题.

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施引文献(3)

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